«Все есть число»
Пифагор

Давайте прямо сейчас вместе с вами построим математику. Посмотрим на свои пальцы, на левой руке, на правой, посмотрим книги на полках, карандаши, чашки на столе, на буквы в этом слове и немного поиграем со всем этим. Каждый предмет из этого разнообразия относится к своей группе и если в рамках этих групп начать игнорировать какой-либо предмет, не считать, что он существует или просто убрать его подальше, то группы, вероятно, как-то изменятся. То, что при таком действии изменится во всех группах, мы назовем числомколичеством предметов в этих группах. Но числа это ещё не математика, потому что с ними ещё нужно что-то делать. Если мы принесем с кухни ещё чашек и поставим рядом с другими, то группа чашек опять как-то изменится, это изменение мы назовем сложением или суммированием. Поздравляю, мы построили школьную математику. Все эти игры — первый шаг абстракции. Мы отказались, т.е. абстрагировались, от любых свойств конкретных предметов, оставив только их количественную меру. Абстрагируемся дальше: у нас есть числа, мы получили их, рассматривая много разных предметов и пытаясь найти в них что-то общее. Давайте вообще называть математическим объектом то, чем можно измерить очень многое. Пример: есть много предметов, о которые можно удариться, не меньше тех, о которые можно порезаться, разница между ними, очевидно, в угле. Действие, которое как-то меняет математический объект назовем операцией (тот же угол можно растягивать или разбивать надвое). Это второй шаг абстракции. Поздравляю, мы построили математику старшей школы, а в некотором смысле даже построили то, что называют вышматом.
Математика прекрасно описывает реальный мир, когда использует костыль в виде физики. Заметьте, в реальном мире никаких чисел нет, нам пришлось включить свою голову, чтобы рассмотреть их в этом хаосе мира, т.е. применить логику, а логика это штука, которая свойственна уже не реальному миру, а исключительно человеку. Из этого следует, что, когда мы изучаем математику, мы изучаем не только свойства окружающего нас мира, но и непосредственно самих себя. Настоящая психология это математика.

У меня есть задачка для вас. Есть стандартная шахматная доска 8х8 ед., в которой две диаметрально противоположные угловые клетки (к примеру, а1 и h8) выпилили лобзиком, и есть много доминошек 2х1 ед. Вопрос: можно ли замостить этими доминошками всю эту доску? Кстати, физик, программист и математик решат эту задачу по-разному. Физик проведет, скажем, сто или больше экспериментов, у него ничего не получится и он придет к выводу: ну, значит нет, нельзя замостить, такой закон природы. Ведь вообще-то закон всемирного тяготения не теорема, ничто не мешает ему завтра перестать работать, это просто вывод из миллионов экспериментов по подбрасыванию мячиков вверх. Программист напишет программку, она ему посчитает все возможные варианты и выдаст: нет, нельзя. На самом деле даже если объединить все компьютеры мира, мощностей на вычисления не хватит, к тому же возможны ошибки. Математик немного подумает и скажет: доминошка в любом случае должна закрывать и черную клетку и белую, а у нашей доски белых на две больше черных, так что нельзя. Строгое доказательство. Но почему это так? Нет, понятно почему, но это свойство чего? Почему так, а не по-другому? Это непосредственно свойство пространства, в котором мы живем, нашей Вселенной, в ней не может существовать такой доски, которая вся была бы замощена такими доминошками. Не может и все тут. Прочувствуйте: мы напрямую потрогали нашу Вселенную, а может и наш мозг, но скорее всего и то и то сразу.

Читайте также:  15 необычных изобретений будущего

Это не все, математика круче. Она позволяет исследовать не только нашу Вселенную, но и чужие, и даже строить свои собственные.
Изучение геометрии начинается с одной точки, две точки — и мы строим отрезок, три точки — и мы строим треугольник на плоскости, фактически строим плоскость, четыре точки и это тетраэдр, фактически наше пространство. Естественный вопрос математика: почему пятая точка не создаёт ничего нового? Нельзя создать, это ещё одно свойство. Но ведь хочется, чтобы создавало, очень хочется, а когда очень хочется, то можно. Мы же с вами математики, нам можно. Воспользуемся уже знакомым нам инструментом абстракции и прикинемся, что пятая точка действительно создаёт что-то новое. Неважно, что мы не в силах это представить, наш мозг трехмерная сволочь, четыре измерения ему не под силу, но математика круче. Четыре измерения и больше вообразить, представить себе нельзя, как нельзя представить себе цвет, которого нет в спектре. Даже не старайтесь. Ничего страшного не случилось, с этим пространством можно точно так же работать: строить в нем фигуры, изучать их свойства, мерить там углы, все то, что можно делать в обычной геометрии. Единственная экстравагантность заключается в том, что четырехмерного пространства в нашей трехмерной Вселенной нет.

У нас есть математические объекты и операции. Строгое описание того, что именно происходит после применения некоторой операции к некоторому математическому объекту, а также описание самих этих объектов и операций называется аксиомами. Это исходные правила всей дальнейшей игры. Аксиомы строят теорию, из них выводятся теоремы. В математике (в дисциплине матлогики) есть теорема Гёделя, утверждающая, что в любой непротиворечивой (это значит, что в ней нет теорем, противоречащих друг другу) системе аксиом существует такое утверждение, которое будет верным, но его нельзя ни доказать, не опровергнуть. Это ограничение, которое математика, или, если хотите, наша Вселенная накладывает на возможности нашего познания. Например, пользуясь этим списком аксиом евклидовой геометрии

  1. От всякой точки до всякой точки можно провести прямую.
  2. Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой.
  3. Из всякого центра всяким радиусом может быть описан круг.
  4. Все прямые углы равны между собой.
  5. Через точку, не лежащую на прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

вы никогда не докажите, что если точки A, B, C, и D лежат на прямой и известно, что B лежит между A и C, a C лежит между B и D, тогда B лежит между A и D, хотя это будет верно.

Математика это настоящая гордость всего человечества. Все, что мы по-настоящему знаем об этом мире, мы знаем только благодаря ей. Это единственная успешная попытка добыть из всей этой кучи хаоса хотя бы крупицу порядка.

comments powered by HyperComments